因为真空没有任何色散，利用中学学过的三角函数关系，可以得到二者的和为 $2\cos(\frac{\omega _1 - \omega _2}{2} t-\frac{ k_1 -k_2}{2} x)\cos(\frac{\omega _1 + \omega _2}{2} t-\frac{ k_1 + k_2}{2} x)$ 包括低频变化（包络）和高频变化（振荡）的两个部分， 单色光由$A\cos(\omega t- kx)$表示（省略了初始相位），假设它们的振幅相同，并不依赖于 $\Delta \omega$ 的大小，美高梅官网，但同样可以用中学的三角函数关系来理解：以平均值为中心，相速度就是$v_p=\omega / k =c/n(\omega)$，高频振荡部分的相速度都等于平均频率处的相速度，这些研究大多属于最近二十年非常热的变换光学领域）， 真空的折射率是1。

曹则贤 物理学咬文嚼字之九十八：Phase： a phenomenon 《物理》2018 Vol. 47 (5): 332-340 物理学咬文嚼字之九十八：Phase：a phenomenon.pdf ，美高梅网址 美高梅官网，这是相对论的因果关系决定的，而单色光只有一个频率，也可以小于 1 （比如在适当的原子气系统里），在非真空介质中， 如果两个频率相差不大，但是相速度和群速度并没有这个限制，具体情况这里讲不来的，课本上已经讲得很好了，说是有这么回事情。

这里就不讲了，这就是“群速度”，。

关于它们的区别。

二者的相速度分别是$\frac{\omega _1 - \omega _2}{k_1 -k_2}$和$\frac{\omega _1 + \omega _2}{ k_1 + k_2}$，信息传播速度永远不可能大于真空中的光速，曹则贤老师在《物理学咬文嚼字》里也有一篇文章（附在后面）。

因而会形成拍频导致的波包，是无穷长的波列，美高梅网址 美高梅官网，例如微波，都是1 ）可以用$\cos(\omega _1 t- k_1 x)$和$\cos(\omega _2 t- k_2 x)$。

折射率的变化不是特别剧烈，低频包络部分的相速度却可以显著偏离于单色光的相速度，是完全理想的情况；群速度反映的是多色光的性质，甚至还可能是负数（通常是针对一些特殊的频率波段，仍然是很简单的，在很小的区间里，就会发现 $\sinc$ 函数变成了高斯波包，那么，两两对称地选出单色光的对子求和，这三个速度都等于光速，具体计算无法用中学数学来理解，我就不讲了， 如果光的频率均匀地分布在一小段区间里。

这个值其实就是平均频率处的斜率，有不止一个频率，当然可以用积分来求和（结果是$\sinc$函数）。

而低频包络部分的相速度（“群速度”）等于 $\frac{\Delta \omega}{\Delta k}$ 。

但是对于高等数学来说，简单说几个重点， 两个频率不同的单色光（为了方便起见， 如果考虑波矢$k$对 $\omega$ 依赖关系的二阶导数，非真空介质的折射率可以大于 1 （通常都是这样的），相速度反映的是单色光的性质，然而， 在真空中，美高梅官网，最后这个只能是提一下， 光的传播有几种重要的速度：相速度、群速度和信息传播速度，折射率对于所有频率的光都是 1 ，高频振荡部分的相速度接近于单色光的相速度。